相信運籌學運用得最多的地方，是在供應鏈優化，而在供應鏈優化里運用最多的地方，是在庫存控制里。這篇文章，我們就分門別類，從簡單到復雜，從書里有的到書里沒有但實際會用的，來聊聊各種各樣的庫存控制策略。這里頭的一部分也是我們面試做計劃的候選人的必問問題。懂前面的表明你有好好讀過書，懂后面的表明你面對現實問題有好好思考過，而且還能得出不錯的方案。

哪些是書里有的呢？就是所謂在數學上漂亮的，能明確列出數學式來計算最優策略的。但之所以能在數學上漂亮，是因為前提苛刻，因而不太實用，但這都是基礎。

如果看著看著嫌例子太多，文章太長，請直接跳到最后的策略總結。

好，我們現在開始了！

最簡單的情況是：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是穩定不變的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=0.

最優方案是什么？因為通常而言，都希望最小化總成本，包括庫存成本和因為短缺而導致的損失兩部分。那只要每天都買N PCS，那庫存成本和短缺損失都是0，肯定是最優。簡單吧~

這里多說兩句，后面要用到。庫存成本，其實包括在庫成本和在途成本。在庫成本，就是貨物放在倉庫的成本。在途成本，就是已經下了單，但是沒有送到倉庫那些貨物的成本。一般的物料不需要很特殊的存放條件，存放的成本幾乎可以忽略不計，要算的是資金的積壓。邏輯是，這筆錢，如果不用來買存貨，而拿去投資，其實可以拿到投資收益，一般給正常的公司都會用10%的年利率來算（什么，很高嗎？看看高利貸）。資金積壓越久，對應的資金積壓成本就越高。

好，現在把情況稍微變復雜一點：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是穩定不變的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p。

4. 下單要等一個固定的時間，也就是Leadtime=T.

最優策略是什么？還是每天下N PCS，只不過要多付T天的資金積壓成本，也有可能是貨到付款，不用積壓錢的。由于這部分成本逃不掉，這是最優解。還是很簡單吧？

這里總結第一個規律：見到有Leadtime就相應地提前去采購即可。

好，現在把情況再稍微變復雜一點：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是穩定不變的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采購成本里面既有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p；又有固定成本X，例如送貨成本，送1PCS也是送，送很多也是送，又例如開機成本，加工1PCS也是要開機，加工很多也是要開機。

4. 下單要等一個固定的時間，也就是Leadtime=T.

最優策略是什么？每隔一段時間送一個固定的批量，這個時間是T的整數倍，而批量也是N的同樣整數倍。這樣的話，首先不會導致缺料損失，也減少了每次采購的固定成本。至于這個整數是多少，跟固定成本有關系。固定成本越高，這個整數越大，對吧？數學上也是可以通過求最優的方式來求出這個整數值的，大家自己試一下。

還有一種情況跟這個不一樣，但是類似，就是沒有固定成本，但是有MOQ(minimum order quantity)，也就是說買的時候，至少要達到某個量。這可能是要買的東西本身體積很小，價值很小，例如螺絲或者電阻電容，也可能因為有階梯價，采購數量到達一定數量能享受低價。采購策略類似，每次要么不買，一買買一批慢慢用。

這里總結第二個規律：見到固定成本或者MOQ或者階梯價就改成隔一段時間才買一次大一點的量來滿足這段時間。

好，我們繼續把情況再稍微變復雜一點：

1. 只用關心單個物料

2. 需求不是穩定不變的，是隨時間變化的，但是都是明確知道的，例如某物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采購成本里面只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p。

4. 下單要等一個固定的時間，也就是Leadtime=T.

最優策略是什么？應該是每次需要N(t)的時候，提前T時間去買N(t)，對吧？

好，再復雜一點：

1. 只用關心單個物料

2. 需求不是穩定不變的，是隨時間變化的，但是都是明確知道的，例如某物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采購成本里面既有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p；又有固定成本X，例如送貨成本，送1PCS也是送，送很多也是送，又例如開機成本，加工1PCS也是要開機，加工很多也是要開機。

4. 下單要等一個固定的時間，也就是Leadtime=T.

最優策略是什么？這次就稍微復雜一點了。因為有固定成本，所以不能每次都買，要算好每次買的時候覆蓋后面多久的需求才劃算。但是我們知道策略的形式就是，每次買一定數量，這個數量跟后面隨時間變化的需求量相關。固定成本越高，這個數量會越大。這部分有的教科書有，有的沒有，因為在數學上已經開始變得沒那么漂亮了。但是現實中不像前面那幾個情況，這個情況很可能出現。需求之所以確定，是因為我們預先定好一個計劃，而這個計劃在一定時間窗口里面是可以先固定住的。

好，再再復雜一點：

1. 我們要關心多個物料，而這多個物料是有組成關系的，例如我們關心A,B,C三個物料，A是B的子項，B是C的子項。

2. 需求不是穩定不變的，是隨時間變化的，但是都是明確知道的，例如C物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采購成本里面只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p。

4. 給每個物料下單都要等一個固定的時間，這個時間會因物料而不同。

最優策略是什么？倒推就好，我們算出對C物料隨時間變化的需求，又知道B是C的子項，所以可以算出B物料隨時間變化的需求，然后再算出A。然后再每個物料提前一個Leadtime來買就好。這就是最簡單的MRP(Material Requirement Planning)，也是這世界上大多數公司都還在用的做物料計劃的方法。就是這么簡單。

這里總結第三個規律：多個物料有父項子項關系，按照這個關系展開需求即可。

前面說到的這些，都是假設需求是確定的，Leadtime是確定的，然而，現實世界哪有這么確定。我們下面從最簡單的情況開始，往不確定的方向走。

第一個情況是：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是會圍繞某個均值變化的，而且是未知的，例如我們賣西瓜，事先根本不知道今天會有多少人來買

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=0.

5. 這個物料買回來第二天就會壞

最優策略是什么呢？由于需求是未知的，如果備料備少了是有可能的，那會引起短缺損失；而如果我們備多了，會壞掉。所以我們應該事先估算一下需求的分布，有多大的概率會賣出多少。有了這個，我們就可以定出來一個最合適的數量M，使得在期望上總成本最小。這就是著名的“賣報童問題”，因為報紙第二天就沒有時效性了，等于廢了，大家可以搜一下，也是有標準最優解的。如果因為短缺而導致的損失很大，那M會大一些，稍微多備一點，兩者是正相關關系。

這里總結第四個規律：需求不確定的時候，最優采購量取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

我們再看復雜一點的情況：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是會圍繞某個均值變化的，而且是未知的，例如我們賣西瓜，事先根本不知道今天會有多少人來買

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=0.

5. 這個物料買回來過一段時間會壞。

最優策略是什么？這個跟賣報童問題類似，只不過東西買回來不會馬上壞掉。直覺就能告訴我們，會比賣報童問題的M要大一些。能存放的天數越大，這個值就會越大。大多少，數學已經變得難算了，這時候拍拍腦袋定個值就是個不錯的近似解了。教科書一般已經不教這個了。

再變化一下：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是會圍繞某個均值變化的，而且是未知的，例如我們賣西瓜，事先根本不知道今天會有多少人來買

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=0.

5. 這個物料買回來不會壞。

最優策略是什么？因為買回來不會壞，所以可以多買一點，以減少短缺損失，但是也不好買太多，否則，資金積壓成本會過高。這時候我們就會定一個所謂的安全庫存，來吸收需求的不確定性。具體做法是，每天我們都會把庫存量補到一個數，這個數就是賣報童問題的M。例如說，今天賣掉了Y PCS，我們就補會去Y PCS，今天全賣掉M PCS了，我們就補M PCS。這個就叫“Order Up to”策略，只不過因為Leadtime=0，所以可以每天都補。

這里總結第五個規律：如果需求有不確定性，且庫存能放，則設置安全庫存，安全庫存還是取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

再復雜一點，如果Leadtime不等于0，也就是

1. 只用關心單個物料

2. 需求是會圍繞某個均值變化的，而且是未知的，例如我們賣西瓜，事先根本不知道今天會有多少人來買

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=T.

5. 這個物料買回來不會壞。

那么最優策略依然是“Order Up to”策略，只不過每天消耗完的需求，要到T天之后才補得回來，那這T天內的波動就會大一些，所以安全庫存水位會高一點。

再復雜一點，增加固定成本，也就是

1. 只用關心單個物料

2. 需求是會圍繞某個均值變化的，而且是未知的，例如我們賣西瓜，事先根本不知道今天會有多少人來買

3. 采購成本里面既有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p；又有固定成本X。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=T.

5. 這個物料買回來不會壞。

這里運用規律二和規律五即可。最優策略還是“Order Up to”，只不過不是每天都補貨，而是隔一段時間才補一次，因為補太頻繁，固定成本會很高。而補的數量就是這些天的總需求。

再復雜一點，需求不僅僅圍繞某個均值變，也就是變成

1. 只用關心單個物料

2. 需求是個時間序列，有趨勢，有周期性，也有擾動。這個假設，可以囊括所有情況，只不過不同情況的趨勢，周期性和擾動的相對大小不大一樣而已。

3. 采購成本里面既有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是p；又有固定成本X。

4. 一下單即送到，也就是Leadtime=T.

5. 這個物料買回來不會壞。

這時候我們可以想辦法化未知為已知。時間序列里面，趨勢和周期性是可以很好地通過移動平均來求出來的，這部分需求是確定的，就可以按照前面聊過的方式來求最優策略。剩下的擾動這部分，就可以按照前一個問題來求。兩者相加即可。

這里總結第六個規律：如果需求是時間序列，一定可以分解成趨勢+周期性+擾動，其中趨勢+周期性是確定的，擾動是不確定的。

剛剛講的是不確定性來自于需求，還有一種不確定性是來自于Leadtime，最簡單的情況是：

1. 只用關心單個物料

2. 需求是穩定不變的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采購成本里面沒有固定成本，只有變動成本，也就是每買1 PCS的價格是P。

4. Leadtime不是一個固定值

5. 這個物料買回來不會壞。

這時候，就需要評估Leadtime的分布了。但最終策略會跟前面一樣，用“Order Up to”策略，靠安全庫存來吸收Leadtime的不確定性，Leadtime越不確定，安全庫存就需要越多。

特別像最近電子料市場特別緊張，Leadtime很多從幾個月變成了超過一年的，還經常跳票，那就需要備更多的安全庫存。

這里總結第七個規律：如果Leadtime有不確定性，且庫存能放，則設置安全庫存，安全庫存還是取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

現在我們總結一下七個規律：

1. 見到有Leadtime就相應地提前去采購即可。

2. 見到固定成本或者MOQ或者階梯價就改成隔一段時間才買一次大一點的量來滿足這段時間。

3. 多個物料有父項子項關系，按照這個關系展開需求即可。

4. 需求不確定的時候，最優采購量取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

5. 如果需求有不確定性，且庫存能放，則設置安全庫存，安全庫存還是取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

6. 如果需求是時間序列，一定可以分解成趨勢+周期性+擾動，其中趨勢+周期性是確定的，擾動是不確定的。

7. 如果Leadtime有不確定性，且庫存能放，則設置安全庫存，安全庫存還是取決于短缺成本和過剩成本的均衡。

懂得以上規律，就能應對99.99%的情況了。當然，我這里因為邊幅原因，沒把每一個如何求最優的數學表達式寫出來，但是有數學基礎和數學建?；A的同學都能自己推導出來。而沒有的同學，也可以按照里面提到的思路，毛估估地拍個腦袋也大差不差。市面上的各種策略，其實也都是上面幾條的整合和具體化，萬變不離其宗。

最后，我出一個我們現實中遇到的問題，看看大家能不能運用上面的七個規律來想出對應的方案。它雖然看著不像，但事實上已經被這七個規律覆蓋到了。問題是這樣的：

我們有一個物料，每次來料都幾乎有質量問題，有問題都要去返修。這個物料是找供應商訂做的，說復雜也不復雜，我們也給出了工藝要求和指導，但是供應商就是不好好做，我們專門派人去盯著，供應商就做得好，不派人去盯，就做不好。那如果我們一直不派人去盯，來料經常有問題，就要一直返修，修一次不行，多修幾次，時間過去了，就導致生產缺料了。那你說，我們應該用怎樣的庫存管理策略呢？