模型成立的一個(gè)重要前提條件是平均的需求，這是考慮到人體每天消耗的食物量是比較均衡的，而且沒有暴飲暴食。

在更多的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中，需求是隨機(jī)的，是持續(xù)變動(dòng)的，很少會(huì)有一成不變的情況。

由于需求具有隨機(jī)性，企業(yè)更多地使用固定訂貨周期，它的特點(diǎn)和買菜模型有些類似，訂貨間隔的時(shí)間是固定的，物料計(jì)劃員定期檢查需求和庫存情況，根據(jù)前置時(shí)間下訂單。

固定訂貨周期模型的最大庫存持有量不僅包含了需求的平均值，還有安全庫存，用于抵消隨機(jī)需求造成的缺貨，這是這篇文章重點(diǎn)想要探討的話題。

一、隨機(jī)的概念

在介紹公式之前，先簡(jiǎn)單談一下隨機(jī)的概念。說起隨機(jī)，我首先想到了一個(gè)英語單詞Random。在Excel中有一個(gè)函數(shù)公式“RAND()”，輸入后會(huì)得到一個(gè)介于0到1之間的數(shù)，每次出來的結(jié)果都不重復(fù)，它很好地解釋了隨機(jī)這個(gè)詞的本意。

在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)里，隨機(jī)性是指事件可能出現(xiàn)的結(jié)果是已知的，只是不知道下一次會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果，比如上面的公式結(jié)果只會(huì)在0到1之間，但我們不知道會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)值。范圍已知，結(jié)果未知，這才是隨機(jī)。

近年來供應(yīng)鏈有個(gè)熱門詞語，叫做不確定性，它有個(gè)別名叫“黑天鵝事件”。舉個(gè)例子，2021年3月23日，一艘中國臺(tái)灣長(zhǎng)榮集團(tuán)貨輪“Ever given”號(hào)，在經(jīng)過蘇伊士運(yùn)河時(shí)發(fā)生事故，橫向卡在運(yùn)河中，堵塞了雙向交通。

此類事件是無法預(yù)知的意外，特點(diǎn)就是不確定，我們完全不知道事件可能會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果。這樣看來，隨機(jī)性和不確定性是兩回事兒，在庫存訂貨模型中，我們談?wù)摰氖请S機(jī)性的問題，這樣才可以使用到正態(tài)分布進(jìn)行分析，而不確定性事件是不能預(yù)見的，就不在訂貨模型中討論了。

再舉個(gè)例子，2022年俄羅斯和烏克蘭發(fā)生沖突，導(dǎo)致了歐洲能源供應(yīng)緊張，價(jià)格大漲。面對(duì)昂貴的取暖費(fèi)賬單，歐洲老百姓被迫選擇平價(jià)替代品，大量采購了中國制造的電熱毯等取暖設(shè)備，這些產(chǎn)品的訂單從當(dāng)年7月份開始爆增，這種超出預(yù)期的需求在俄烏沖突發(fā)生前是想象不到的，訂貨模型是沒法應(yīng)對(duì)這種場(chǎng)景的，所以“黑天鵝事件”不在本文的討論范圍之內(nèi)。

二、計(jì)算公式介紹、正態(tài)分布

1.最大庫存量公式

固定訂貨周期模型先要設(shè)定一個(gè)最大庫存持有量，簡(jiǎn)稱最大庫存量，也叫做Base Stock。訂貨的周期是固定的，可以是每月、每周，或是每天。訂貨數(shù)量是使用最大庫存量減去現(xiàn)有庫存和已預(yù)定的庫存。

每次訂貨的數(shù)量是變動(dòng)的，因?yàn)橛嗀浐髷?shù)量要達(dá)到最大庫存量，而現(xiàn)有庫存數(shù)量是隨著需求的波動(dòng)而上下變動(dòng)的，它不是穩(wěn)定地消耗的，所以訂貨量是可變的。

來看最大庫存量的計(jì)算公式。

最大庫存量=(需求均值×(二次訂貨間隔時(shí)間+前置時(shí)間))+(K×(需求標(biāo)準(zhǔn)差×√((二次訂貨間隔時(shí)間+前置時(shí)間)))

公式中有三個(gè)概念，分別是需求均值、K值和需求標(biāo)準(zhǔn)差，要把它們講清楚，首先要來了解另一個(gè)概念，那就是著名的正態(tài)分布。

2.正態(tài)分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差

在自然界中有一種神奇的現(xiàn)象，處于平均水平的情況比較多，高出或低于平均的情況比較少，這種現(xiàn)象很常見。由于這種分布情況很普通，所以它被叫做Normal Distribution，Normal就是正常、平常的意思。

相比之下，其他類型的分布就顯得有些特殊，適用范圍也小很多。只有正態(tài)分布才具有普遍適用性，值得我們重點(diǎn)研究。

舉個(gè)例子，人類的身高就符合正態(tài)分布，如果平均身高是175厘米，則大多數(shù)人的身高在165至185厘米之間，統(tǒng)計(jì)身高和對(duì)應(yīng)的概率值，大體上是這樣的，橫軸是身高，豎軸是出現(xiàn)的概率。

這條曲線左右對(duì)稱，像是一座小山，中間高，兩邊越來越低。這座山坡的最高點(diǎn)就是均值或平均值，它決定了山坡的高度。均值的計(jì)算公式很簡(jiǎn)單，把所有數(shù)相加，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)就可以了，在Excel里的公式是“Average(數(shù)據(jù)1，數(shù)據(jù)2,…,數(shù)據(jù)N)”。

每個(gè)數(shù)值和均值之間都有差，比如身高180厘米和均值175的差距是5厘米。如果我們把所有的值和均值的差的平方相加，然后除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，就可以得到方差（Variance），再把方差開平方根，就得到了標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）,就是所謂的“西格瑪”，符號(hào)是σ。

標(biāo)準(zhǔn)差代表什么意思？它用來描述隨機(jī)變量的波動(dòng)情況，標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)和均值的差距很大，意味著波動(dòng)很厲害。反映在身高上，有些人可能很高，還有些人很矮，相差得很遠(yuǎn)。標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明大家的身高都差不多，比較接近于平均值。

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算過程顯然要比均值麻煩許多，先要算出每個(gè)結(jié)果和均值的差，然后求平方的均值，再開根號(hào)，計(jì)算量很大。好在Excel里有相關(guān)的函數(shù)，我們只需要把數(shù)據(jù)準(zhǔn)備好，然后輸入“STDEV.S(數(shù)據(jù)1，數(shù)據(jù)2,…,數(shù)據(jù)N)”就可以了。

說了那么多均值和標(biāo)準(zhǔn)差的內(nèi)容，這與訂貨模型有什么關(guān)系？回到上面的公式，它可以分為兩個(gè)部分，前面一半是計(jì)算循環(huán)庫存（Cycle Stock），后一半是關(guān)于安全庫存（Safety Stock）。

3.循環(huán)庫存

循環(huán)庫存是指“收到客戶訂單時(shí)逐漸消耗，在收到供應(yīng)訂單時(shí)循環(huán)補(bǔ)充”的庫存。它的主要特點(diǎn)是循環(huán)補(bǔ)充，這是與安全庫存最大的區(qū)別之處。在整個(gè)訂貨周期過程中，當(dāng)我們下了訂單后，需要經(jīng)過一段時(shí)間后才能收到貨物，這段時(shí)期叫做前置時(shí)間（Lead Time）。

固定訂貨周期意味著每隔一段時(shí)間才會(huì)下單，例如采購員每個(gè)星期訂貨一次。每次下的訂單至少要能覆蓋二次訂貨間隔和前置時(shí)間，這樣才能保證這段時(shí)間的需求都被照顧到了。

假設(shè)A商品的訂貨間隔是7天，也就是每隔7天需要訂貨一次，訂貨日分別是7月4日、11日和18日。到貨的前置時(shí)間是2天，當(dāng)4日訂貨后，6日貨物送到，11日的訂單，在13日到貨。

7月4日的這張訂單，不僅要滿足至11日的需求，還要繼續(xù)延伸兩天至13日，因?yàn)?1日的訂單要在那天才到達(dá)。A商品的需求要覆蓋前置時(shí)間加上訂貨間隔的全部，這樣才保障在循環(huán)周期里的供應(yīng)，所以這部分的庫存被叫做循環(huán)庫存。

它的計(jì)算公式是使用需求的均值乘以二次訂貨間隔與前置時(shí)間的總和。

循環(huán)庫存=需求均值×(二次訂貨間隔時(shí)間+前置時(shí)間)

需求具有隨機(jī)性，有時(shí)多，有時(shí)少，在正態(tài)分布之下，我們知道它的范圍，但不知道下一次會(huì)需要多少量，所以需要有安全庫存作為緩沖。在7月12日那天，如果沒有安全庫存在下面墊著，恐怕就缺貨了，預(yù)計(jì)庫存已經(jīng)非常接近于0，11日下的訂單還沒到貨，庫存水平處于周期中的最低點(diǎn)。

4.安全庫存

那么安全庫存怎么設(shè)定？這就關(guān)系到訂貨模型公式的后半部分，回顧一下公式

安全庫存=K×(需求標(biāo)準(zhǔn)差×√((二次訂貨間隔時(shí)間+前置時(shí)間)))

K值終于登場(chǎng)了，在有些教材里也叫Z值，都是一回事兒，它代表了一個(gè)系數(shù)，從公式上看，系數(shù)越大，安全庫存也就越大，越是不容易缺貨。

如何定義這個(gè)值呢？有一種通常的做法是領(lǐng)導(dǎo)來決定，對(duì)標(biāo)一下行業(yè)里的龍頭企業(yè)，如果達(dá)到了95%的交貨率，那我們也定這個(gè)指標(biāo)，在100次訂單里，有95次能交貨，缺貨率只有5%。

目標(biāo)有了，如何轉(zhuǎn)換成K值呢？我們還是要去正態(tài)分布中尋找答案，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差能夠覆蓋68.26%的數(shù)據(jù)，也就是均值左右各34.13%，這是標(biāo)準(zhǔn)差的重要意義。

根據(jù)概率的基本定律，概率的最大值為1，正態(tài)分布又是對(duì)稱的，所以左右半邊各占了50%。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的累計(jì)概率是50%+34.13%，等于84.13%，而兩個(gè)能覆蓋到97.72%的數(shù)據(jù)。在身高分布案例中，只要身高達(dá)到185厘米，就能超越97.72%的人了。

在訂貨模型中，2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差就能夠滿足97.72%的交貨率或服務(wù)水平。根據(jù)公式，想要實(shí)現(xiàn)95%的交貨率，對(duì)應(yīng)的K值是1.645，也就是1.645倍的標(biāo)準(zhǔn)差。這段文字可能有些燒腦，如果不理解也沒關(guān)系，只需要明白K值越大，安全系數(shù)就越高。

有一點(diǎn)我們需要了解，K值不是線性關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)差從0到1可以增加34.13%的覆蓋面，從1到2只有13.59了，越往后就更少了，屬于邊際效應(yīng)遞減。

5.如何找到K值？

有一種辦法可以計(jì)算K值，在Excel中輸入公式“NORM.S.INV(累積概率)”，就能立即獲得對(duì)應(yīng)的K值。

6.數(shù)據(jù)模擬

我用一組數(shù)據(jù)來模擬一下訂貨模型的情況。

假設(shè)A商品每天的需求符合正態(tài)分布，均值是100，標(biāo)準(zhǔn)差是40。二次訂貨間隔是7天，前置時(shí)間是2天，要求的服務(wù)水平是95%。

每次訂貨數(shù)量是用1097減去期初庫存，這樣就能使得在庫數(shù)量和訂貨數(shù)量之和始終都是1097。具體數(shù)據(jù)如下圖。

我分別在7月4日、11日和18日訂貨，到貨日期是7月6日、13日和20日。在7月3日的期初庫存有600，4日的需求是87，所以4日的期初庫存是600減去87，等于513。這一天的訂貨數(shù)量就是1097減去513，等于584。

在7月5日，期初庫存用前一日的預(yù)計(jì)庫存513減去需求124，得到了389，這也是當(dāng)日的預(yù)計(jì)庫存。7月6日的期初庫存同樣是用前一日的預(yù)計(jì)庫存389減去當(dāng)日需求137，結(jié)果是252，由于當(dāng)天有到貨584，所以預(yù)計(jì)庫存是836。

后續(xù)的兩次訂單分別在13日和20日到貨，整個(gè)過程中預(yù)計(jì)庫存始終大于零，盡管在7月12日和19日時(shí)庫存很低，但憑借著安全庫存，讓服務(wù)水平得到了保障。

以上就是經(jīng)典的固定訂貨周期模型，此外還有一些模型，比如固定訂貨數(shù)量模型、或是混合訂貨模型等，它們各有適用的場(chǎng)景。