編者按

滿足客戶多變需求一直以來是企業(yè)追求的目標(biāo)，而柔性流程設(shè)計恰正好滿足這一要求。柔性生產(chǎn)理念強(qiáng)調(diào)在大規(guī)模生產(chǎn)中使用長鏈策略，決定是否需要對產(chǎn)能平衡，是否有必要對作業(yè)人員進(jìn)行有效安排，為在整個流程中添加適當(dāng)?shù)娜嵝? 完成多變的生產(chǎn)計劃。

柔性生產(chǎn)理念

流程柔性是針對不斷變化的需求而衍生出的一種生產(chǎn)策略。簡單來說就是是否需要使用一個工廠/流水線生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，以最大滿足多變的需求。以可口可樂的生產(chǎn)為例，我們有很多種不同口味的可樂，如基礎(chǔ)版可樂，無糖可樂，櫻桃味可樂等等。每種不同類型的可樂都有一定的隨機(jī)需求。為最大滿足多變的需求，決策者需要做出以下選擇：如何安排哪家工廠生產(chǎn)何種口味的可樂？是否需要投資新增生產(chǎn)線，以便讓同一家工廠能夠生產(chǎn)更多口味的可樂？

本文分主要討論過程柔性設(shè)計（process flexible）策略中被廣泛應(yīng)用在實(shí)際中的“長鏈“（long chain）策略，并簡要介紹關(guān)于長鏈策略在2-flexibility design中的漸進(jìn)最優(yōu)分析。

一、先于理論的現(xiàn)象

在工業(yè)界，特別是汽車制造業(yè)，柔性生產(chǎn)很早就被應(yīng)用于交叉生產(chǎn)不同的汽車或零件，即使用相同工廠或流水線生產(chǎn)不同的汽車和零件，例如基礎(chǔ)版汽車和豪華版汽車的裝配通常是在一個裝配線上完成的。而這一現(xiàn)象首次被學(xué)術(shù)界注意到是在1995年，Jordan 和Graves首先發(fā)現(xiàn)只需以長鏈方式（long chain）向系統(tǒng)添加少量“柔性”，系統(tǒng)能滿足的需求將大幅上升。據(jù)此，他們對某汽車制造商提出了若干引入柔性生產(chǎn)的建議并付諸了實(shí)施。下圖是他們以長鏈方式逐步向系統(tǒng)加入“柔性”時產(chǎn)生的效益。

上圖以二分圖（bipartite graph）的形式給出了工廠和可生產(chǎn)零件的對應(yīng)關(guān)系。左邊的圖是原生產(chǎn)關(guān)系，而右邊的圖是以長鏈方式加入柔性后的生產(chǎn)關(guān)系。在每個圖中，左邊的字母A~P是產(chǎn)品，右邊的數(shù)字1~8是工廠，若有邊連接左邊與右邊，則代表工廠能生產(chǎn)該產(chǎn)品。

對比左右兩邊，優(yōu)化后的生產(chǎn)關(guān)系只加了6條邊（黑色粗線），每條邊添加后的效果如下表所示：

從表中可以看出，每增加一條邊，滿足的需求量（Sales）都在上升。表中的最后一行total flexibility是一種極端情況，表明每一個工廠都可以生產(chǎn)所有種類的產(chǎn)品。用二分圖來表示的話，每個工廠和所有商品都有連線。這種極端情況雖然能最大滿足需求（表中的sales最大），但在現(xiàn)實(shí)中因?yàn)楦甙旱某杀径豢赡艹霈F(xiàn)，此處僅表明能滿足的最大需求數(shù)。從表中數(shù)據(jù)可以看出，在簡單的添加6條邊之后，滿足的需求已經(jīng)接近最優(yōu)值的99.5%。

遺憾的是，Jordan和Graves雖然注意到了長鏈在實(shí)踐中的顯著效果，但他們并沒有給出相應(yīng)的理論解釋。這一問題直到20年后才由Simchi-Levi David and Yehua Wei.（2012）和Wang Xuan and Jiawei Zhang（2015）給出了較明確的回答。

二、對原問題的簡化與抽象：

現(xiàn)在想象一個情況，一個工廠某部需要生產(chǎn)六種名為A-F的產(chǎn)品，并由6位不同員工完成作業(yè)，分別名為Adam, Bob, Carol, Dianne, Edith, Fred, 工作安排地計劃如下：

這一生產(chǎn)安排沒有任何“柔性”，因此是指定生產(chǎn)計劃（dedicated system）。按照此計劃，每周收到相應(yīng)訂單后6位員工相繼開始工作，每位員工每周產(chǎn)量為10個產(chǎn)品。各種產(chǎn)品的需求量為一個相互獨(dú)立的均勻的離散分布（8，10，12），也就是說，需求各以1/3的概率為8，10或者12。超出產(chǎn)量的產(chǎn)品需額外支付320美金；培訓(xùn)一名員工所需10000美金。顯然每周需要超額工作的可能性為1/3， 那么一周超額工資期望值則為:

改進(jìn)1：限制性柔性生產(chǎn)：Adam組裝產(chǎn)品B

在接下來我們將討論一種稱為限制柔性（limited flexibility）的改進(jìn)，對一些員工進(jìn)行培訓(xùn)，對之前不屬于他們負(fù)責(zé)的產(chǎn)品幫助完成生產(chǎn)。當(dāng)市場對產(chǎn)品A的需求低迷（8個產(chǎn)品/周）卻對產(chǎn)品B高漲（12個產(chǎn)品/周）時，其它產(chǎn)品C-F需求保持不變，公司需要考慮是否安排員工Adam在完成自身工作同時協(xié)助Bob的超額訂單。

產(chǎn)品A周需求為8個，產(chǎn)品B周需求為12個，兩個條件同時滿足時的可能性為：

1/3*1/3=1/9

計算改進(jìn)后的超額工資則為：

（2個超額產(chǎn)品）*（320美金/每個產(chǎn)品）*（1/9超額工作概率）*（1名員工）=71美金/員工

以此類推，我們可以計算出培訓(xùn)Adam后生產(chǎn)多余產(chǎn)品B所減少的費(fèi)用，以一年52個工作周計算即約為3700美金；考慮到對Adam的培訓(xùn)費(fèi)用已經(jīng)是10000美金，需要3年時間才能夠?qū)崿F(xiàn)對這項(xiàng)人員投資的“盈利”。此時，對A的需求為8，對B的需求為12 ，因此系統(tǒng)恰能滿足所有的需求，需求滿足率上升到100%。

改進(jìn)2：重復(fù)改進(jìn)1，建立長鏈

重復(fù)1的過程，把六名員工以長鏈的方式緊緊地拴在了一起，形成了一個完整的鏈條。如圖所示：

這樣一來，Adam幫助完成部分產(chǎn)品B，Bob幫助完成部分產(chǎn)品C，Carol幫助完成部分產(chǎn)品D，Dianne幫助完成部分產(chǎn)品E，Edith幫助完成部分產(chǎn)品F，而Fred幫助完成產(chǎn)品A。

最終，在長鏈系統(tǒng)里，6名員工的總加班費(fèi)用由最初的66560美金降到26295美金，節(jié)約了40000多美金。而6名員工的培訓(xùn)費(fèi)為60000美金，因此可以在1.5年中收回“成本”。每條鏈產(chǎn)生的效果如下表所示：

三、過程柔性的理論解釋

對平衡（balanced）制造系統(tǒng)，即工廠數(shù)等于產(chǎn)品數(shù)，柔性過程設(shè)計本質(zhì)是一個最大流（max flow）問題，其表示式見左圖。假設(shè)新增兩條邊α 和β,每條邊上的容量是\μ_{\α}和\μ_{\β}。則模型由左邊變?yōu)橛疫叀？勺C明右邊的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值對\μ_{\α}和\μ_{\β}是supermodular。因?yàn)樯鲜鼋Y(jié)論對任意需求d都成立，因此最優(yōu)值的期望也滿足supermodularity。

由supermodular function的定義可知，向系統(tǒng)中添加一條邊會使其他邊的邊際效益增大，也就是說邊與邊之間是互補(bǔ)的關(guān)系。這一性質(zhì)符合在實(shí)際中觀察到的現(xiàn)象，即向系統(tǒng)中增加“柔性”可顯著提高需求的滿足度。事實(shí)上可以證明，從最初的一對一開始，逐步向系統(tǒng)中添加flexible arc會使得目標(biāo)期望值越來越大，并且增長越來越快。也就是說，以長鏈方式向系統(tǒng)中增加柔性，隨著邊數(shù)的增多，系統(tǒng)能滿足的需求數(shù)會增長越來越快，直到最終形成一個長鏈。

進(jìn)一步分析可證明最優(yōu)銷售量可由n組不同的程度柔性系統(tǒng)的銷售之差相加所得，由上述supermodularity產(chǎn)生的單調(diào)性可知，任意兩不同柔性程度的系統(tǒng)之差總小于長鏈與長鏈缺一邊之差，但n組F_n-F_n-1之和恰好是2-flexibility design的最優(yōu)解，因此長鏈策略在該種情況下是最優(yōu)策略。

此外，下列paper利用半正定規(guī)劃（SDP）和概率論中的優(yōu)化不等式的技巧證明了long chain design和full flexibility design非漸進(jìn)（non asymptotic）的deviation bound，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明在大多數(shù)情況下確實(shí)這個bound都很小！

Wang, Xuan, and Jiawei Zhang. "Process flexibility: A distribution-free bound on the performance of k-chain."Operations Research 63.3 (2015): 555-571.

四、總結(jié)

在有限的資源內(nèi)，除了提高需求預(yù)測的準(zhǔn)確度，如何讓生產(chǎn)計劃安排地更加具有靈活性是一個工廠作業(yè)管理中的重要議題。在需求分布概率不同的情況下，實(shí)施員工之間兩兩配合完成生產(chǎn)計劃是可行的，但是對此投資的話，收益度卻不高，資金周轉(zhuǎn)慢。反而是在員工之間建立起一中鏈條式的聯(lián)系，彼此間可以相互協(xié)助，減少怠工和加班，使得生產(chǎn)更加靈活。且“鏈條”的數(shù)量越多，資金投資的回報時間越快。這種柔性生產(chǎn)理念同樣適用于流程改進(jìn)，特別是在權(quán)衡改進(jìn)的成本和收益之間的關(guān)系。關(guān)于柔性生產(chǎn)模型里，由于涉及到了許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域如概率論，隨機(jī)模型，優(yōu)化理論，組合分析，也成為運(yùn)籌學(xué)，管理科學(xué)上的一個熱門研究領(lǐng)域。